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Dialéctica en el Caos, Fractales y Razón Dorada

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Tres de las más grandes revoluciones científicas del siglo XX –la Teoría de la relatividad, la física cuántica y la teoría del Caos- han fortalecido, cada una a su manera, la concepción filosófica de la naturaleza sostenida por Engels en su obra Dialéctica de la naturaleza. Se trata de la concepción del mundo con la cual Marx realizó el estudio más serio acerca de la dinámica del capitalismo. El materialismo dialéctico no es sólo un método de análisis para estudiar al capitalismo, sino, como señalaba Engels, una concepción general del mundo: la naturaleza, el pensamiento y la sociedad que encuentra sus raíces en el maravilloso pensamiento del antiguo filósofo griego Heráclito y en el método dialéctico de Hegel.

Caos TheoryEn Razón y revolución Ted Grant y Alan Woods han puesto al día la obra de Engels, en mi texto “El materialismo dialéctico y la ciencia”, siguiendo la estela dejada por Ted Grant y Alan Woods, he tratado de mostrar cómo estas revoluciones científicas muestran un universo en constante cambio y movimiento, a través de contradicciones y con un desarrollo de complejidad creciente. En este texto pretendo concentrarme en la teoría del Caos, los fractales y el llamado “número dorado”; temas todos vinculados y que, además de interesantes y apasionantes, muestran la estructura contradictoria de la naturaleza y -especialmente el número áureo-  parecen señalar la auto-organización de la naturaleza y la estructura subyacente espiral oculta en muchas estructuras (incluidas las fractales). Para ilustrar el texto me he auxiliado - además de literatura de divulgación científica- de imágenes, ilustraciones y videos obtenidos del internet a las cuales les debo el lado gráfico de este trabajo. Espero que el tema resulte tan interesante para el lector como lo es para mí.

Teoría del Caos

La Teoría del Caos -desarrollada en los años sesenta en los trabajos de los científicos soviéticos A. Kolmogorov, V. Arnold; S. Smale y E. Lorenz en EUA; D. Ruelle y R, Thom en Francia-señala que la dinámica de los fenómenos complejos –fenómenos que involucran más de tres variables- no se pueden describir y entender con la matemática euclidiana (es decir, con reglas, escuadras y compases), ni con la mecánica de Newton. Fenómenos como el movimiento pendular, el flujo turbulento, la dinámica del mundo subatómico, los ruidos de fondo, el goteo azaroso en la bañera, etc. son fenómenos que combinan el caos y el orden; son impredecibles pero, al mismo tiempo están determinados. El “azar” y el orden están dialécticamente vinculados. Esta maravillosa teoría nos enseña que el movimiento lineal y predecible se transforma más allá de cierto punto en un movimiento caótico e impredecible y que, si bien, es imposible determinar el comportamiento de cada partícula que conforma el movimiento caótico, es perfectamente posible predecir la estructura subyacente del Caos como un sistema. Pero esto no es todo: el Caos hace posible el surgimiento de nuevos órdenes lineales que expresan una nueva etapa del desarrollo. Se trata del replanteamiento inconsciente en términos de la ciencia moderna de una concepción dialéctica del mundo. Tenemos en esta teoría todas las llamadas “leyes de la dialéctica”: Unidad y lucha de contrarios, paso de lo cuantitativo a cualitativo y viceversa, y negación de la negación.
Ejemplifiquemos concretamente esta idea con el asombroso patrón de desarrollo –“Diagrama de bifurcación”-descubierto por R. May en la década de los setentas en la dinámica de población de algunos animales, insectos y bacterias.  R. May encontró que cuando algunos crustáceos tenían una tasa de reproducción menor a 0.6 la población desaparece al cabo de pocos años; en este caso la tasa es menor a la capacidad de la especie para compensar los especímenes que mueren. Cuando la tasa de población es superior a 0.6 y hasta una tasa de 2.7, la población aumenta progresivamente quedando estabilizada en una cantidad determinada. Estamos ante el comportamiento de un patrón perfectamente predecible y lineal. Pero con una tasa de crecimiento mayor a 3 el patrón lineal se bifurca en dos cifras que se alternan cada año; para una tasa mayor a 3.45 la tasa población se bifurca en 4 cifras que se alternan; en 3.569 la tasa vuelve a bifurcarse en ocho cifras, en 3.56 tenemos 16 cifras y así sucesivamente con cada pequeño digito que alteremos. En este punto nos encontramos al borde del Caos, la dinámica es tan inestable que cualquier pequeño cambio provocará un salto de estado. Lorenz se refirió al pequeño cambio que provoca el caos como “El efecto mariposa”. En dialéctica se le llama transición de cantidad a calidad. Así en 3.56999 entramos en una fase caótica de la dinámica poblacional: ya es imposible determinar un número exacto para la población la cual varía caóticamente dentro de cifras en un rango que la vez está determinado. Abajo la gráfica que representa esta fascinante dinámica.

En esta gráfica podemos observar que dentro del periodo caótico del desarrollo podemos encontrar pequeñas franjas blancas que son “ventanas de orden dentro del Caos”, es decir, tasas en donde la dinámica de población vuelve a ser lineal y ordenada describiendo en pequeña escala el patrón ya descrito: se estabiliza, se bifurca y que se vuelve a bifurcar hasta dar lugar a un nuevo caos. El orden genera caos, el caos tiene un orden y genera nuevos órdenes.
Este, por supuesto, no es el único patrón que describe el paso del orden al caos. Las formas obedecen al tipo de dinámica estudiada, así se conocen transiciones “casi periódicas”, “cascadas subarmónicas”, “intermitencias”, etc. Estos patrones no son exclusivos de la dinámica poblacional. Se han encontrado patrones equivalentes en los ritmos cardiacos cuando se vuelven inestables en las arritmias y caóticos en los ataques cardiacos; los estados mentales, el patrón del encefalograma parece ser más caótico y fractal mientras la persona está más alerta. ¡La consciencia humana sería imposible sin el caos y la contradicción! Es posible que esta dinámica se manifieste también en los ciclos económicos que pasan de estables a inestables durante las crisis capitalistas. Ya Marx había señalado que la dinámica del capitalismo no es lineal, es contradictoria y está llena de inestabilidades y caos intrínseco.

La dialéctica de los fractales

Hemos señalado que el Caos tiene un orden que depende del sistema caótico de que se trate. Hemos observado, en el caso de la dinámica poblacional, que en el caos se encuentran ventanas de orden que repiten la estructura inicial en pequeña escala. Esas pequeñas ventanas de orden dentro del caos pueden ampliarse cuantas veces se quiera encontrando los mismo patrones una y otra vez. El caos tiene una estructura fractal: una estructura geométrica no lineal autosimilar; repite la misma estructura a cualquier escala que la miremos. El orden del caos se puede representar por fractales, estructuras contradictorias, son un verdadero asalto a la lógica formal, verdaderos “monstruos matemáticos”. Para explicar hasta que punto estas estructuras son dialécticas veamos algunos de los fractales más famosos y conocidos.
En 1828 el botánico ingles Robert Brown describió en curioso movimiento en zigzag que se conoce en la actualidad como “movimiento browniano”. Una partícula de polen suspendida en agua o en polvo  suspendido en el aire (suspensión coloidal) describe este asombroso movimiento irregular. Si trazamos los puntos por los que pasa una mota de polvo por el espacio en un momento determinado (1 minuto por ejemplo) y unimos los puntos de manera imaginaria, obtendremos una estructura en zigzag como la de la imagen de abajo. Si nos preguntamos qué paso entre el punto 1 y 2 representado en nuestro dibujo por una recta, trazando el movimiento con puntos en un inérvalo de tiempo más corto (por ejemplo 1 segundo) obtendremos, en ese nuevo intervalo, otra estructura en zigzag similar a la antes mencionada. El fenómeno se repite hasta el infinito para tiempos más cortos. Se trata de un fractal porque la estructura se repite en diversos intervalos de tiempo. El movimiento browniano nos obliga a aceptar que la mota de polvo está en un tiempo finito en infinitos puntos. ¡Un movimiento infinito en un tiempo finito! Este tipo de contradicciones ya habían sido expresadas en las paradojas de Zenón, solo que Zenón las exponía para demostrar que el movimiento es contradictorio y, por tanto, no debía existir como señalaba su maestro Parménides (precursor de la lógica formal). La única manera de resolver las contradicciones de Zenón es aceptando la contradicción misma.

Otro de los fractales más antiguos y “sencillos” es el ideado y, al mismo tiempo, descubierto por Cantor en 1883. Se trata de un monstruo matemático que ni el mismo Cantor creía que pudiera existir: se trata de una estructura autosimilar (fractal) que tiene infinitos puntos pero cuya longitud tiende a cero. Es difícil concebir algo así. En la escuela nos enseñaron que la recta se define como la suma de los puntos, la lógica formal nos señala que mientras una línea contenga más puntos su longitud será mayor. Se dice que el polvo de Cantor es más que una colección de puntos pero menos que una línea. Por un lado Cantor compuso este fractal, pero al mismo tiempo, estaba descubriendo, sin saberlo, la estructura fractal de fenómenos como los finísimos anillos de Saturno, las fluctuaciones del precio del algodón, hasta las variaciones del nivel del río Nilo durante los últimos dos mil años1.

Posteriormente el matemático sueco H. Koch construyó en 1904 una curva infinitamente irregular conocida como “curva de Koch”. La estructura es asombrosa porque es finita (por ejemplo cabe en una hoja de papel) pero es infinita al mismo tiempo. Si intentamos medir el perímetro de esta curva encontraremos una cifra aproximada; pero si observamos con lupa observaremos irregularidades o protuberancias que no habíamos medido, utilizando un instrumento de medición más fino obtendremos una nueva aproximación y así, hasta el infinito. La dimensión de esta curva es fraccional (dimensión Hausdorff), lo que quiere decir que se aproxima a un número sin llegar nunca a él. La curva de Koch está lejos de ser una simple curiosidad para entretenerse de la misma forma en que los niños ocupan el tiempo hurgando su nariz. El perímetro de nubes, continentes, grietas, fallas, la membrana celular, la membrana nasal, etc. son tan irregulares y contradictorios como la increíble curva de Koch.

La “empaquetadura de Sierpinski” descrita por el matemático polaco Waclaw Sierpinski en 1916, por ejemplo, es un triángulo equilátero infinitamente agujereado con espacios en blanco -en forma de triángulo invertido inserto- en el triángulo negro inicial; se repite, sucesivamente, el proceso de “agujereado” con los 4 triángulos negros que resultan en cada operación. El resultado es una estructura cuya suma de los perímetros de los triángulos negros es infinito, mientras que su área tiende a cero. Nuevamente se desafía a la lógica formal puesto que en la matemática euclidiana el área aumenta en proporción al perímetro. Aquí tenemos lo contrario.  A este tipo de área se le conoce como área Sierpinski.

La versión tridimensional de este monstruo es la “esponja de Menger” pirámide infinitamente agujereada con espacios  piramidales. Fue compuesta por el matemático vienés Karl Menger en 1926, cuando investigaba la “dimensión topológica” (matemática no euclidiana). El área superficial de la pirámide es infinita mientras que el volumen tiende a cero. El cerebro tiene volumen “Menger”, la Torre Eiffel es una versión tosca del mismo fractal. Los átomos, por ejemplo, parecen estar al borde de la no existencia y, al mismo tiempo, son uno de los niveles básicos de la existencia. De acuerdo a los maravillosos programas sobre ciencia de Enrique Ganem, para imaginar la evanescente existencia del átomo podemos hacer la siguiente representación mental: si el átomo de hidrógeno fuera del tamaño de la Ciudad de México el núcleo de protones sería del tamaño aproximado de la plancha del Zócalo, los protones serían del tamaño de un bolón de Básquet Bol; y el electrón sería del tamaño del punto de una “i” situada a las afueras de la Ciudad, protón que está y no está: se mueve a kilómetro y medio por segundo dentro de su nivel de energía en un movimiento azaroso pero determinado por la constante Plank. Así de contradictoria es la dialéctica entre el ser y no ser.

Observemos un fascinante viaje al interior de una esponja de Menger. Se entiende por qué se usan las dimensiones fractales para los efectos especiales de las películas de Hollywood.

Durante mucho tiempo los fractales no fueron considerados más que como “casos patológicos” o curiosidades sin interés; no fue sino hasta el desarrollo de los procesadores en los años sesenta y setenta que los científicos pudieron construir estructuras que implicaban una sucesión infinita de operaciones matemáticas encontrando, con ello, patrones fractales asombrosos. Terminemos la exposición de fractales con el que generó, a finales de los años setenta, Benoit Mandelbrot, ingeniero de la IBM, estudiando las propiedades de los Conjuntos de Julia; se trata de uno de los fractales más asombrosos conocidos. El fractal de Mandelbrot es un fractal mucho más complejo que los fractales “lineales” que se repiten a sí mismos hasta el infinito. Se trata de un fractal irregular porque las estructuras infinitas que contiene se repiten hasta cierto punto y dan origen a nuevas estructuras y patrones infinitos que, al mismo tiempo, siguen conteniendo de forma subordinada, en alguna de sus infinitas protuberancias, al fractal original. En dialéctica a esto se le conoce como “negación de la negación”.

El siguiente video es un fascinante viaje al interior del fractal de Mandelbrot.

La estructura fractal de Mandelbrot aparece como un microcosmos infinito encerrado en la curiosa figura del “muñeco de nieve”. Sugiere la estructura fractal del cosmos, mismo que contiene infinitas estructuras en infinitos niveles: cúmulos de galaxias, galaxias, sistemas estelares, cuerpos celestes, continentes, cordilleras, cuerpos, moléculas, átomos, protones, quarks, neutrinos, etc. La comparación no es forzada puesto que las galaxias mismas tienen una estructura fractal2. Sorprendentemente la mayor parte de las estructuras del universo son fractales, por la sencilla razón de que el universo es complejo y contradictorio, desde lo más simple y prosaico hasta lo más sobrecogedor: los árboles, las brócolis, las coles, las nubes, las montañas, las venas, las arterias, las células, los continentes, las galaxias, la convección térmica, los ojos de las libélulas, el flujo de líquidos y gases, la dinámica de la población, el clima, la música de Beethoven, etc. Los científicos siguen buscando “atractores extraños” o tendencias subyacentes en fenómenos que a primera vista parecen no obedecer a leyes. Engels y Marx, después de todo, se han de estar riendo en sus tumbas. El conocimiento de Caos promete al ser humano la posibilidad de controlar fenómenos complejos. Las perspectivas son asombrosas. Por lo menos la matemática fractal ya se utiliza en los efectos especiales de películas como “El señor de los anillos”. En lugar de que los dibujantes se dediquen a diseñar cada montaña y grieta por separado, utilizan la matemática fractal para generar patrones automáticos que copien a montañas, cuevas, etc.

El número áureo

Observemos el patrón “ramal” que se dibuja en la gráfica poblacional que expusimos cuando explicamos la teoría del caos.

Además de ser un fractal se observa que existe determinada proporción entre las ramas mayores y menores del dibujo. Así mismo en el patrón de “células de Bernard” que se genera en la convección térmica (en donde se generan patrones celulares en fractal) se oculta la misma proporción. Se trata del mismo patrón oculto en los ojos multifacéticos de la libélula, en sus alas, en los pétalos de una margarita, en las elipses de una piña, las espirales del girasol, en las proporciones del cuerpo humano, en la Venus de Milo, el rostro de la Mona Lisa, el Vitrubio de Da Vinci, El Partenón…. Y la música de Debussy. A esta proporción en el arte se le conoce como “razón dorada”, “número áureo”, “razón divina”. Es interesante, además de todo, porque expresa una de las formas en las cuales la naturaleza se “auto-organiza” mostrando el desarrollo espiral que desde Hegel ha sido el esquema clásico para explicar el desarrollo dialéctico. Pero antes de explicar en qué consiste, partamos de una comiquísima explicación gráfica que hemos encontrado en internet: con perdón del lector expliquemos el número áureo a partir de las proporciones corporales de Britney Spears.

Si dividimos la altura de esta mujer entre la distancia de su centro de gravedad -que está en su ombligo- el piso obtenemos 1.69. Si dividimos el ancho de su ojo entre el espacio entre sus ojos obtenemos 1.62. Si medimos el largo de su rostro entre la distancia de su iris a su barbilla obtenemos 1.66. El resultado se repite con la relación entre otras proporciones. No se trata de una proporción privativa de Spears sino de las proporciones del cuerpo humano.

Es posible, no obstante, que el resultado contenga algo de arbitrariedad. Los matemáticos saben que es posible obtener cualquier cifra que uno quiera de cualquier fenómeno que se quiera, siempre que se encuentre la operación adecuada. De esto se han aprovechado charlatanes para encontrar supuestos patrones místicos en la biblia, en las predicciones de Nostradamus y otras estupideces por el estilo. Sin embargo el número áureo no es el caso y la razón para ello no es para nada mística sino bastante materialista. La proporción no es forzada –por lo menos no del todo-  sino que expresa la estructura formal de muchos procesos y objetos de la naturaleza.
Empecemos señalando que el número dorado se obtiene de la sucesión numérica conocida como sucesión de Fibonacci en referencia al matemático italiano de finales de la Edad Media que la descubrió (mucho antes había sido descubierta por matemáticos indios en el 200 a.C.).

0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89, 144 →

Es fácil percatarse de que la sucesión se obtiene sumando los dos últimos números de la serie para obtener el subsecuente. Conforme avanzamos en la serie y dividimos cualquier número posterior entre el anterior nos vamos acercando a un número fraccional que también es una dimensión fractal: 1.61803… el número áureo. Lo interesante de esta dimensión es que subyace a muchas estructuras naturales y artificiales. En las proporciones relativas de los huesos que conforman las falanges, la mano, el brazo, las piernas, el rostro.

En el número de espirales del girasol (los números son parte de la sucesión de Fibonacci), el número de pétalos de una margarita, la estructura de los caracoles, los cuernos de algunos animales, algunos fractales, etc.

El siguiente video es una breve pero hermosa exposición de este hecho. Desde el punto de vista de una perspectiva dialéctica llama mucho la atención que la “razón dorada” exprese la dinámica propia de las espirales que expresan gráficamente el desarrollo dialéctico, progresivo pero contradictorio. Es necesario aclarar, no obstante, que la razón dorada no agota la infinita variedad de patrones matemáticos que se encuentran en la naturaleza. No existe un solo fractal que agote la estructura del universo, sino infinitas formas y patrones. Sin embargo si algo revela el “número dorado” es que la naturaleza se organiza en patrones complejos y no lineales. La razón de ello estriba en las leyes subyacentes de la naturaleza. Así, por ejemplo, los cristales suelen organizarse de acuerdo con este patrón porque la fuerza electromagnética que mantiene unidos a los cristales de hielo tiende a acomodar a las moléculas en modelos que optimizan el espacio… y la razón dorada es una de las maneras más eficientes para ello. El polen de los girasoles tiende a organizarse de esta manera porque la selección natural favoreció a aquellas plantas que concentraran la mayor cantidad de polen en el menor espacio posible y mantienen más posibilidades de sobrevivir. Lo mismo sucede con las celdas que componen los ojos de algunos insectos y las celdillas de los panales, etc. No existe nada misterioso ni místico en ello. En todo caso nos muestra la increíble complejidad y auto-organización de la naturaleza. Hay intérpretes, sin embargo, que hablan de “la razón divina” sería la firma de Dios en su creación, un mensaje oculto de la existencia de una “inteligencia superior”; pero esta interpretación demuestra que algunas personas carecen de “inteligencia superior”.

El número áureo en la naturaleza

Ya Leonardo y otros artistas del renacimiento conocían la “divina proporción” que aplicaba de manera consciente en sus obras. Pero otros artistas han expresado este patrón sin saberlo.  Si el arte es una expresión de la naturaleza y la sociedad no es casualidad que exprese frecuentemente los mismos patrones que son tomados, muchas veces, como referentes de belleza, armonía y proporción

Notas

1. Talanquer, Vicente; Fractus, fracta, fractal, p. 26.
2. Sametband, José M; Entre el orden y el caos, p. 98.

Bibliografía:

Braun, Elieser; Caos, Fractales y cosas raras, Fondo de Cultura Económica, Colección la Ciencia para todos, México, 1996.

Engels, F. Dialéctica de la naturaleza, Grijalbo, México, 1981.
Grant, Ted; Woods, Alan, Razón y revolución, Fundación Federico Engels, España. 2002.
Hegel, G. W. Filosofía de la Lógica, Claridad, Buenos Aires, 2006.
Sametband, Moisé, J; Entre el orden y el caos. La complejidad, Fondo de Cultura Económica, Colección la ciencia para todos, México, 1999.
Talanquer, Vicente; Fractus, fracta, fractal. Fractales de laberintos y espejos, Fondo de Cultura Económica, colección la ciencia para todos, 1996.

Fecha:
Octubre de 2011
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