LA INTEGRAL

En el numeral pasado, hemos definido la derivada de una función, en este definiremos el contrario de la derivada: la integral.

Esta operación nace como consecuencia de responder la siguiente pregunta: si se conoce la velocidad de una partícula para un tiempo determinado ¿ podemos conocer la ley de movimiento de tal partícula?

La respuesta no es fácil de contestar, esta respuesta nos lleva a crear una nueva disciplina que en apariencia no tiene nada que ver con la derivada, esta disciplina es el cálculo integral. De hecho, el cálculo diferencial y el cálculo integral fueron considerados distintos hasta que surgió un teorema que además de unir estas disciplinas las exhibe como contrarias, tal teorema es el teorema fundamental del cálculo; de este teorema hablaremos con más detalle posteriormente. En este momento, nos propondremos construir la integral de una función.

Supongamos que $v\left( t\right)$ es la función velocidad de una partícula. Esta función nos da la velocidad de una partícula en movimiento para cada instante $t.$ Por ejemplo, consideremos la función $v\left( t\right) =10t$. Si deseamos conocer la velocidad de una partícula en un instante $t=2s$, lo único que debemos hacer es cambiar la $t$ por el 2. Es decir $v\left( t=2\right) =v\left( 2\right) =10\left( 2\right) =20.$ Esto significa que en el segundo $t=2s$, la partícula en movimiento llevará una velocidad de $20m/s$. La gráfica de esta función es una línea recta (ver figura 11). Noten que ahora representamos al eje de las velocidades ``eje v'', como un eje perpendicular al eje del tiempo $t$.

Figura 11:

Si la velocidad de una partícula es constante--digamos que tiene un valor $v_{0}$--el desplazamiento de esta partícula está dado por $% x\left( t\right) =v_{0}t$. Para este caso, la función velocidad está dada por $v\left( t\right) =v_{0}$ cuya gráfica se muestra en la figura 12. Esta gráfica es una recta paralela al eje t a una altura $v_{0}$ de este eje. Los movimientos que tienen como función velocidad $v\left( t\right) =v_{0}$ se llaman movimientos rectilíneos uniformes.

Figura 12:

Pero geométricamente (abstracto), ¿qué representa el desplazamiento en la gráfica de la función velocidad $v\left( t\right) =v_{0}$? Tomemos el intervalo de tiempo desde $t=0$, que representa el instante en el que inició el movimiento hasta el tiempo $t=t_{0}$, para esta función de velocidad, el desplazamiento de la partícula en este instante es $x\left( t_{0}\right) =v_{0}t_{0}$, esto es el área comprendida entre el eje t y la línea $v_{0}$. Lo que ocurre así porque tenemos un rectángulo con base de longitud $t_{0}$ y altura igual a $% v_{0}$ y el área de los rectángulos se obtiene multiplicando la base por la altura (véase figura 13).

Figura 13:

Debe notarse que nuevamente hemos planteado un problema concreto en uno geométrico--es decir en un problema abstracto--el cual resolveremos y lo interpretaremos concretamente.

¿Cómo resolvemos este mismo problema para una función arbitraria $v\left( t\right)$? Por lo anterior podemos deducir que el área bajo la gráfica sobre el eje $t$ determina el desplazamiento (ver figura 14).

Figura 14:

Ahora el problema original se ha convertido en el siguiente problema: Dada la gráfica de la función $v\left( t\right)$, encontrar el área encerrada entre su gráfica y el eje $t$ en el intervalo de tiempo desde $t=0$ hasta $t=t_{0}$.

Para resolver este problema utilizaremos el siguiente método.

1. Hagamos una partición del intervalo de tiempo de $t=0$ a $t=t_{0}$(ver figura 15).

   Figura 15:

   

2. Formemos rectángulos cuyas bases sean las particiones del intervalo y alturas correspondientes a la altura mínima de la gráfica en la partición del intervalo. (ver figura 16).

Figura 16:

La suma de las áreas de todos estos rectángulos es aproximadamente el área total bajo la gráfica de la curva.

Para fijar ideas usaremos una partición con cinco elementos $\left\{ 0,t_{1},t_{2},t_{3},t_{4}\right\}$. La base del rectángulo uno está dada por la longitud entre el 0 y el punto $t_{1}$, por lo tanto, la base del primer rectángulo es $\left( t_{1}-0\right)$, de manera análoga, sabemos que la longitud de la base del segundo rectángulo es $\left( t_{2}-t_{1}\right)$, de este modo las longitudes de las bases del tercer y cuarto rectángulo son $% \left( t_{3}-t_{2}\right)$ y $\left( t_{4}-t_{3}\right)$ respectivamente.

Aquí podemos ver otra ley de la dialéctica, un elemento de la partición forma el primer punto de un rectángulo, pero se convierte en su contrario en el rectángulo del otro lado, ya que en éste, es el último punto de la base. Para encontrar la altura de tales rectángulos, tenemos que tomar un punto $\xi$ en el interior de la base, de tal modo que la altura que corresponde a ese punto, sea menor que la altura de cualquier otro punto de la base de tal rectángulo. En nuestro caso, los puntos $\xi$, corresponden con los mismos puntos de la partición, o sea, $\xi _{1}=t_{1},\xi _{2}=t_{2},\xi _{3}=t_{3},\xi _{4}=t_{4}.$ Entonces la altura del primer rectángulo es $v\left( t_{1}\right)$, la del rectángulo dos es $% v\left( t_{2}\right)$, la del rectángulo tres $v\left( t_{3}\right)$ y el del cuatro $v\left( t_{4}\right)$. Por lo tanto, el área del primer rectángulo es $v\left( t_{1}\right) \left( t_{1}-0\right)$, el área del segundo rectángulo es $v\left( t_{2}\right) \left( t_{2}-t_{1}\right)$ y la de los rectángulos tres y cuatro son $v\left( t_{3}\right) \left( t_{3}-t_{2}\right)$ y $v\left( t_{4}\right) \left( t_{4}-t_{3}\right)$, respectivamente. Por lo tanto, la suma de las áreas de los cuatro rectángulos es $S=v\left( t_{1}\right) \left( t_{1}-0\right) +v\left( t_{2}\right) \left( t_{2... ...ight) \left( t_{3}-t_{2}\right) +v\left( t_{4}\right) \left( t_{4}-t_{3}\right)$. Denotaremos las bases de la siguiente manera: $\Delta t_{1}=\left( t_{1}-0\right)$, $\Delta t_{2}=\left( t_{2}-t_{1}\right)$, $\Delta t_{3}=\left( t_{3}-t_{2}\right)$, $\Delta t_{4}=\left( t_{4}-t_{3}\right)$.De este modo obtendremos que $S=v\left( t_{1}\right) \Delta t_{1}+v\left( t_{2}\right) \Delta t_{2}+v\left( t_{3}\right) \Delta t_{3}+v\left( t_{4}\right) \Delta t_{4}$. Esta suma de áreas de ractángulos la denotaremos del siguiente modo $\sum\limits_{i=1}^{4}v\left( t_{i}\right) \Delta t_{i}=S$. El símbolo $\Sigma$ es una letra del alfabeto griego que se llama sigma, en matemáticas la usamos para indicar una suma, la parte de abajo de sigma nos indica desde qué numero se empieza a sumar y la parte de arriba hasta qué número debemos sumar. Es decir: $S=\sum\limits_{i=1}^{4}v\left( t_{i}\right) \Delta t_{i}=v\left( t_{1}\right) ... ...Delta t_{2}+v\left( t_{3}\right) \Delta t_{3}+v\left( t_{4}\right) \Delta t_{4}$ (ver figura 16).

Notemos lo siguiente: Mientras más grande sea el numero de rectángulos con los que nos aproximamos al área, más parecida es el área de esta aproximación al área bajo la curva. (ver figura 16). De este modo, podemos escribir una aproximación más general al área bajo la curva. Sea $n$ el numero de rectángulos inscritos. En tal caso, el área bajo la curva será aproximadamente igual a la suma de las áreas de los rectángulos $S_{n}=\sum\limits_{i=1}^{n}v\left( t_{i}\right) \Delta t_{i}=v\left( t_{1}\rig... ... t_{1}+v\left( t_{2}\right) \Delta t_{2}+...+v\left( t_{n}\right) \Delta t_{n}.$

De todo lo anterior, podemos inferir que el área bajo la curva será la suma de las áreas de los ractángulos cuando hay una cantidad tan grande de todos estos, de tal modo que contiene tantos rectángulos como numeros enteros positivos, es decir una cantidad infinita de rectángulos, que denotaremos como:

$$A=\underset{n\rightarrow \infty }{l\acute{\imath}m}\sum\limits_{i... ..._{i}=v\left( t_{1}\right) \Delta t_{1}+v\left( t_{2}\right) \Delta t_{2}+\ldots$$

En este contexto, el símbolo $\underset{n\rightarrow \infty }{l\acute{\imath}m}$ significa que el número de rectángulos crece tanto hasta volverse una cantidad infinita y a esta cantidad la denotaremos como:

$$\int\limits_{0}^{t_{0}}v\left( t\right) dt=\underset{n\rightarrow \infty }{l\acute{\imath}m}\sum\limits_{i=1}^{n}v\left( t_{i}\right) \Delta t_{i}$$

Y se llama la integral de $v\left( t\right)$.

La dialéctica de la construcción de la integral es la siguiente--¡obtuvimos el área bajo la gráfica de una función, es decir el área de un continuo a través del área de funciones discontinuas! (ver figura 17)--: El área bajo $l_{i}\left( t\right)$ es una función discontinua, cuya gráfica representa las tapas de los rectángulos, ésta es una aproximación al área bajo la curva y cuando la cantidad de tapas de los rectángulos se hace infinita, el área bajo estas tapas es igual al área bajo la curva $v\left( t\right)$ continua. Lo que hemos dicho es que si tenemos una función de velocidad continua, entonces podemos considerar ésta como la unión de una infinidad de movimientos rectilíneos uniformes, es decir, que un pequeño pedazo de la gráfica de la función velocidad, es lo mismo que un movimiento rectilíneo uniforme; notemos que en este problema hemos hecho que una pequeña línea curveada sea igual que una pequeña recta. En general, un movimiento rectilíneo uniforme (MRU) no es igual a un movimiento rectilíneo con una función velocidad $v\left( t\right)$. Sin embargo, este hecho se da, debido a la unión infinita de MRU, de este modo, en la integral encontramos la ley dialéctica que nos dice que el todo es mayor que la suma separada de sus partes.

Figura 17:

A manera de conclusión, diremos que la integral de la función de velocidad de una partícula determina el desplazamiento de dicha partícula, es decir:

$$x\left( t\right) =\int\limits_{a}^{t}v\left( \tau \right) d\tau$$

donde $x\left( t\right)$ representa el desplazamiento de la partícula y $v\left( \tau \right)$ representa la función velocidad. A su vez podemos decir que esta integral representa geométricamente el área bajo la gráfica de la función $v\left( \tau \right)$ en el intervalo de tiempo de $a$ a $t$.

Revisemos de nuevo las preguntas que dieron origen al cálculo diferencial (CD) y al cálculo integral (CI). El CD surgió de la siguiente pregunta: dada la función desplazamiento ¿cuál es la función velocidad? mientras que el CI surge de responder: dada la función velocidad ¿cuál es la función desplazamiento? Estas preguntas son contrarias, de este modo es de esperar que las respuestas de tales preguntas--la derivada y la integral--sean contrarias. Esto es así, siempre y cuando las funciones de desplazamiento y velocidad satisfagan ciertas condiciones que no discutiremos, ya que éstas rebasan los propositos de esta monografía. Pero ello no nos impedira enunciar el siguiente resultado. El nombre de este resultado es el teorema fundamental del cálculo (TFC), el cual se enuncia en dos partes:

Primera parte:

$$\int\limits_{a}^{t}\frac{dx}{dt}\left( \tau \right) d\tau =x\left( t\right) -x\left( a\right)$$

Segunda parte:

$$\frac{d}{dt}\int\limits_{a}^{t}x\left( \tau \right) d\tau =x\left( t\right)$$

De este manera queda claro que entre el CD y el CI existe una unión dialéctica de contrarios.

Como ejemplo del uso del teorema fundamental del cálculo, utilizaremos la función $x\left( t\right) =$$t^{2}$. Primero derivaremos tal función $\frac{dt^{2}}{dt}=2t$. Ahora calculemos la integral de $2t$. En virtud al TFC, encontramos que:

$$\int 2tdt=t^{2}$$

como segundo ejemplo, mostraremos la función $x\left( t\right) =$$t^{2}+7$, la derivada de esta función es $\frac{d\left( t^{2}+7\right) }{dt}=2t$, porque $\frac{d\left( 7\right) }{dt}=0$. De este modo la integral de esta función debe de ser:

$$\int 2tdt=t^{2}+7$$

En general, si $x\left( t\right) =$$t^{2}+c$, entonces $\frac{dx}{% dt}\left( t\right) =\frac{d\left( t^{2}+c\right) }{dt}=2t$, integrando tal expresión, tenemos:

$$\int 2tdt=t^{2}+c$$

La constante arbitraria $c$ se llama constante de integración y es una cantidad independiente de la variable de integración. Puesto que $c$ puede tener cualquier valor, significa que si una función diferencial tiene una integral, entonces, tuvo una infinidad de integrales, es decir una familia de funciones.

Dicho en el lenguaje de la dialéctica, si $f\left( t\right)$ es una función y a ésta la derivamos--la negamos--, obtendremos $\frac{df}{dt}\left( t\right)$. Neguemos ahora lo negado. Se niega por segunda ocación, utilizando el contrario de la primera negación--es decir la integral--: $\int$ $\frac{df}{dt}\left( t\right) dt=f\left( t\right) +c$. De este modo se manifiesta la ley dialéctica de la negación de la negación, ya que llegamos al mismo resultado $f\left( t\right)$, pero a un nivel generalizado, ya que llegamos a $f\left( t\right) +c$, que es una familia de funciones dentro de las cuales se encuentra $f\left( t\right)$.