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LA DIFERENCIAL

Es claro para nuestra intuición que no podemos comparar una línea recta con una línea curva, pero esto es incorrecto, ya que entre ambas lineas hay una unión dialectica de contrarios que queda bien explicada por la diferencial.

Diremos que una curva es diferenciable en un punto $ P$, cuando se puede aproximar localmente esta curva con una recta que pasa por $ P,$ a la recta la llamamos tangente a la curva en el punto $ P.$(ver figura). Por localmente entendemos cercanía, es decir, la aproximación sólo es válida para puntos cercanos al punto $ P$. Se puede demostrar que las curvas que son la gráfica de una función derivable, son diferenciables. Es por ello que a las curvas diferenciables en ocaciones les llamemos curvas suaves.

Nótese en primer lugar que la curva y la recta son contrarios, ya que una tiene curvatura distinta de cero y la otra tiene curvatura cero, pero a pesar de ello, se encuentran unidas. Esto se entiende mejor con la ayuda de la diferencial.

En un punto, la curva puede ser aproximada localmente por medio de una recta tangente. Pero globalmente, esta recta es muy distinta a la curva. Si ahora tomamos dos puntos distintos, la aproximación habrá mejorado, ya que esta unión de rectas se parece más a la curva original. De modo que mientras más rectas tangentes tomemos en distintos puntos, la unión de éstas se parecerán más a la curva. Cuando el número de rectas se vuelve infinito--es decir, cuando la cantidad se vuelve calidad--,la curva será exactamente la unión de estas rectas, más aun, localmente la recta tangente y un pequeño pedazo de curva son lo mismo (ver figura 5).

``El contenido mental de los dos pasos citados puede resumirse en la proposición que contradicción = contrasentido y, por tanto, no puede presentarse en el mundo real. Esta proposición puede tener para gente de entendimiento normalmente sano la misma validez evidente que pueda tener la proposición de que lo recto no puede ser curvo ni lo curvo recto. Pero el cálculo diferencial, a pesar de todas las protestas del sano entendimiento, pone en ciertas circunstancias la igualdad de lo recto y lo curvo, y consigue con ello éxitos que no consigue jamás el sano entendimiento aferrado a lo absurdo de la identidad de lo recto y lo curvo''.

Federico Engels, Anti-Dürhing

Otro hecho dialéctico que hay que destacar de la diferencial es que ``el todo es mayor que la suma de sus partes''. Una recta aislada jamás podría ser comparada con la curva, ni siquiera la infinidad de rectas forman la curva. La curva queda formada por la unión de ellas, pero esta unión no es una unión artificial, es una unión de pequeñas rectas que también son pequeñas curvas, cosa que solo puede suceder para las curvas diferenciales.


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